INTRODUCCIÓN

Desde la antigüedad, la matemática occidental, a diferencia de otras ramas de la ciencia, ha mantenido una clara definición en cuanto a los mecanismos de validación y legitimación de sus conceptos y afirmaciones. En este sentido, la primacía del método demostrativo-deductivo permitió discriminar con mayor precisión los distintos tipos de actividad matemática que no cayeran bajo este conjunto de patrones. En particular, en lo referido al plano de la creatividad y descubrimientos de resultados, métodos y técnicas matemáticas, no queda tan claro cuáles han de ser las pautas que gobiernen su uso.

El término métodos de razonamiento hace referencia a un número determinado de maneras, por medio de las cuales, es posible utilizar efectivamente la facultad humana que permite resolver problemas. Según las características de los problemas a resolver, el pensamiento opera de forma distinta al momento de razonar; por eso es importante que (al menos los estudiantes y los profesionales en cualquier área del conocimiento) aprendan a identificar las formas correctas que se deben emplear, en cada situación específica, para lograr una resolución efectiva del problema que se pueda plantear, y así, poder desarrollar y mejorar sus capacidades intelectuales.

El método analítico y el método sintético son indispensablemente complementarios. El análisis permite observar adecuadamente la realidad que se estudia (meticulosamente, parte por parte); y la síntesis, facilita la determinación de nuevas tesis o juicios respecto de la realidad analizada. Como consecuencia de la aplicación correcta de estos dos métodos, se producen buenas conclusiones y/o resultados.

Uno de los principales objetivos de la enseñanza de las matemáticas, a todos los niveles, consiste en desarrollar la capacidad de resolver problemas.

De hecho, todo profesor persigue, de manera más o menos explícita, que sus alumnos detecten los problemas matemáticos allí donde aparezcan, sean capaces de enunciarlos y reformularlos en los diversos lenguajes, posean recursos para elaborar una estrategia de resolución adecuada, dominen las técnicas básicas para llevar a término dicha estrategia y tengan la capacidad crítica necesaria para evaluar todo el proceso.

La confección de este trabajo de investigación permite al lector conocer la influencia de esta metodología de razonamiento en la resolución de problemas en la asignatura matemática.

 

EL MÉTODO DE ANÁLISIS – SÍNTESIS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ALGEBRAICOS

1. EL MÉTODO DE ANÁLISIS – SÍNTESIS

Los conceptos de análisis y síntesis se refieren a dos actividades complementarias en el estudio de realidades complejas. El análisis consiste en la separación de las partes de esas realidades hasta llegar a conocer sus elementos fundamentales y las relaciones que existen entre ellos. La síntesis, por otro lado, se refiere a la composición de un todo por reunión de sus partes o elementos. Esta construcción se puede realizar uniendo las partes, fusionándolas u organizándolas de diversas maneras (Bajo, M.T., 2004).

La capacidad de análisis y síntesis nos permite conocer más profundamente las realidades con las que nos enfrentamos, simplificar su descripción, descubrir relaciones aparentemente ocultas y construir nuevos conocimientos a partir de otros que ya poseíamos. Por todo ello, tiene un carácter genérico y está relacionada con varias competencias  (pensamiento crítico, resolución de problemas, organización y planificación o  toma de decisiones, por poner algunos ejemplos).

Los procesos de análisis y síntesis depende en gran medida de tres elementos:

• La información y conocimientos previos que posee el individuo o grupo que llevará a cabo la tarea,
• su habilidad en la percepción del detalle y de relaciones novedosas entre elementos propios de la realidad objeto de estudio y de otros ajenos a ella, y
• los objetivos del estudio, que ayudarán a establecer criterios para seleccionar la información relevante y organizarla en la construcción de la síntesis.

Los procesos de análisis y síntesis son interdependientes entre sí, el análisis nos proporciona elementos de juicio, conocimientos, información significativa y argumentos, que reunidos al realizar la síntesis nos permiten reconstruir el todo o construir un nuevo todo cuando sumamos los elementos de una situación, información o problema a nuestros conocimientos y experiencias anteriores y en un momento dado poder utilizar esos nuevos conocimientos para resolver un problema de nuestra realidad.

 

1.1. Formulación en general del método

Se podría pensar que el proceso de traducción de un problema de más de una etapa consiste en una mera yuxtaposición, en el orden adecuado, de las traducciones correspondientes a cada una de las operaciones que hay que realizar o que han de aparecer escritas en la expresión aritmética correspondiente y extender sin más lo que se sabe sobre el proceso de traducción de los problemas de una etapa a los PAVOC. Para nosotros —y ello justifica, por ende, distinguir entre unos y otros a efectos de su análisis— el asunto no se reduce a añadir traducciones una tras otra (Puig y Cerdán, 1989, 1990). Por el contrario, para que el enunciado sea traducible al lenguaje aritmético, es preciso realizar un trabajo sobre el texto del problema que lo transforme en un nuevo texto en el que se hagan explícitos los elementos que han de intervenir en cada una de las traducciones elementales y que muestre la manera como estas han de enlazarse en la expresión aritmética producto de la traducción. Las características de este texto intermedio pueden dilucidarse examinando cómo actúa el método de análisis-síntesis sobre los PAVOC.

Para ello, recurriremos a enunciar una regla del análisis-síntesis para los PAVOC, parafraseando la que aparece en Lakatos (1981) con otros fines, correspondiente al análisis que Pappus llamó problemático (frente al teórico, que es el que examina Lakatos).

Lo que caracteriza el modelo de Análisis-Síntesis en el sentido de Pappus-Descartes, consiste en partir de la suposición de que el problema está resuelto, el estado final E_n. está alcanzado. A continuación se busca un estado E_n-1 a partir del cual pueda obtenerse E_n mediante una operación permisible T_n

Se prosigue buscando otro estado, E_n-2 , a partir del cual y mediante otra operación permisible, T_n-1, pueda alcanzarse el estado E_n-1.

Este proceso continúa hasta alcanzar un estado E_n–j, que sea accesible desde el estado inicial E₀ mediante alguna operación permisible T₁

Aquí acaba el “análisis”, también llamado “solución hacia atrás” o “razonamiento regresivo”; puede esquematizarse mediante:

Si las operaciones T_i son reversibles, las inversas T^-1 suelen ser también operaciones permisibles y se verifican:

por lo que . Esto significa que, en este caso, el análisis se efectúa aplicando operaciones permisibles desde el estado final hasta alcanzar el estadio inicial. Pero puede suceder que algunas de las operaciones T_i no sean reversibles (basta pensar, por ejemplo, en el caso en que T_i sean implicaciones lógicas). En este caso las operaciones S¿ que hacen efectivo el análisis no son permisibles lo cual puede dificultar, en la práctica, la obtención efectiva de la solución hacia atrás.

Partiendo ahora del estado inicial del problema en el que acabó el análisis y recorriendo el camino inverso, obtenemos una “solución constructiva” o “síntesis” del problema que puede esquematizarse como sigue:

El método de análisis-síntesis puede usarse pues como herramienta metodológica para obtener una representación de la estructura de un pro- ceso de traducción de un PAVOC al lenguaje aritmético y caracterizar, en consecuencia, como aritmética dicha estructura. Para ello, hace falta que el análisis de la incógnita culmine efectivamente en los datos del problema y, por tanto, la síntesis sea posible.

 

1.2. Sistema de reglas del método de análisis – síntesis

Algunos intérpretes consideran que Descartes tomó su método de las matemáticas, puesto que esta ciencia parece cumplir fielmente dichas reglas. Pero, dado el carácter unitario del saber que defiende Descartes, deben emplearse en cualquier tipo de investigación, no sólo la matemática; precisamente parece que la aplicó en primer lugar a la propia filosofía. Como indican los títulos de algunas de sus más importantes obras (“Discurso del método”, “Reglas para la dirección del espíritu”), Descartes consideró de suma importancia el descubrimiento de las reglas o método adecuado para la investigación científica.

También es preciso observar que no se trata de técnicas que puedan ser aplicadas mecánicamente para el descubrimiento de verdades, son más bien recomendaciones generales destinadas a emplear adecuadamente las capacidades naturales de la mente. El método permite evitar la influencia del prejuicio, la educación, la impaciencia, y las pasiones que pueden cegar la mente. No hay que confundir la intuición y la deducción (que son los dos “caminos más seguros hacia el conocimiento”) con  el método y sus reglas.

Las reglas fundamentales son:

1. Regla de la evidencia. Es la primera y más importante de las reglas del método. Consiste en aceptar como verdadero sólo aquello que se presente con “claridad y distinción”, es decir, con evidencia. Es el ejercicio de la intuición. Esta regla da lugar a la duda metódica y, tras su superación, al conocimiento como ciencia o saber estricto. En los “Principios de filosofía”, Descartes nos dice que nunca nos engañaremos si nos limitamos a describir en nuestros juicios sólo aquello que conocemos clara y distintamente. El error tiene su origen en que juzgamos antes de tener un conocimiento exacto de lo juzgado. La voluntad, que es imprescindible para que demos nuestro asentimiento a un juicio, pude ir más allá de lo que se ofrece con claridad y distinción, y por lo tanto llevarnos al error. Descartes consideró que siempre que nos equivocamos es por mal uso de nuestra voluntad.

2. Regla del análisis. El análisis (“resolución”) es el método de investigación consistente en dividir cada una de las dificultades que encontramos en tantas partes como se pueda  hasta llegar a los elementos más simples, elementos cuya verdad es posible establecer mediante un acto de intuición. En el “Discurso del método” nos la presenta como la segunda regla. Consiste en descomponer las aserciones complejas hasta llegar a los últimos elementos que las constituyen. Permite llegar a las “naturalezas simples”. Con este método conseguimos que las proposiciones más oscuras se puedan comprender al observar cómo dependen de otras más simples. Dice Descartes en las “Meditaciones” que es también un buen método de enseñanza pues muestra el camino por el que una cosa fue metódicamente descubierta, y es el que sigue en esa obra para mostrar la verdad de proposiciones complejas (por ejemplo “la mente es distinta del cuerpo”, “la mente puede existir sin el cuerpo”, “Dios existe”). En esta obra la proposición elemental a la que llega el análisis, y a partir de la cual posteriormente y mediante un proceso de síntesis se podrá demostrar la verdad de las proposiciones complejas citadas, es el cogito, cuya verdad se muestra mediante intuición.

3. Regla de la síntesis. Denominada método de la composición. Consiste en proceder con orden en nuestros pensamientos, pasando desde los objetos más simples y fáciles de conocer hasta el conocimiento de los más complejos y oscuros. En el “Discurso del método” nos la presenta como la tercera regla del método. Recomienda comenzar por los primeros principios o proposiciones más simples percibidas intuitivamente (a las que se llega mediante el análisis) y proceder a deducir de una manera ordenada otras proposiciones, asegurándonos de no omitir ningún paso y de que cada nueva proposición se siga realmente de la precedente. Es el método empleado por la geometría euclidiana. Según Descartes, mientras que el análisis es el método del descubrimiento, y es el que utiliza en las “Meditaciones Metafísicas” y el “Discurso del método”, la síntesis es el método más apropiado para demostrar lo ya conocido, y es el  empleado en los “Principios de Filosofía”.

4. Regla de la enumeración. Descartes la cita en el “Discurso del método” como la cuarta regla. Consiste en revisar cuidadosamente cada uno de los pasos de los que consta nuestra investigación hasta estar seguros de no omitir nada y de no haber cometido ningún error en la deducción.

Se trata de comprobar y revisar que no haya habido error alguno en todo el proceso analítico-sintético. La comprobación intenta abarcar de un solo golpe y de manera intuitiva la globalidad del proceso que se está estudiando. Se parte de la intuición y a ella se vuelve. 
Una vez comprobado todo el proceso, podremos estar seguros de su certeza.

 

1.3. Problemas aritméticos

En la escuela los problemas aritméticos se proponen, se enuncian o se presentan enunciados, y se resuelven. Así́ que, situados ahora en el ambiente escolar, si queremos saber qué entenderemos por un problema aritmético, habrá́ que describir las características de su enunciado y de su resolución. En el enunciado, la información que se proporciona tiene carácter cuantitativo ya que los datos suelen ser cantidades; la condición expresa relaciones de tipo cuantitativo y la pregunta se refiere a la determinación de una o varias cantidades, o relaciones entre cantidades. La resolución del problema, o lo que es preciso hacer para contestar la pregunta del problema, fundamentalmente parece consistir en la realización de una o varias operaciones aritméticas.

Además, si estos problemas se consideran inmersos en el currículo escolar, por el momento en que aparecen en éste no cabe el recurso al álgebra para su resolución.

Los ejemplos que siguen pretenden que se entienda mejor los matices de lo que entendemos por un problema aritmético.

Problema 1 Un día el padre de Raúl se da cuenta de que el cuenta kilómetros marca 4320 km. ¿Cuántos kilómetros le faltan para hacer la revisión del coche que es a los 5000 km?

Problema 2 El Sr. Ferrer desea hacer una valla alrededor de su piscina. El metro de valla vale 2000 ptas.

Problema 3 En unos grandes almacenes hacen un 20% de descuento, pero hay que pagar el 12% de IVA. Cuando hagas una compra, ¿qué prefieres que te calculen primero el descuento o el IVA?

Estos tres problemas son aritméticos, poseen por tanto las características descritas, pero presentan algunas diferencias entre sí.

Los problemas aritméticos son, en general, problemas de aplicación, lo que hace que aparezcan enunciados en contextos variados. Así́ puede parecer difícil en ocasiones decidir si un problema puede ser considerado como un problema aritmético, cuando está embebido en un contexto geométrico, físico o biológico. Para nosotros en este libro, un problema será́ un problema aritmético siempre que los conceptos, conocimientos o recursos no estrictamente aritméticos de los contextos que aparecen en el enunciado no sean decisivos a la hora de resolver el problema.

 

1.4. Método de resolución de problemas aritméticos

MAYER (1982) señala cuatro tipos de conocimientos necesarios en la resolución de problemas:

• factores lingüísticos: se refiere a la comprensión
• del texto esquemático: relación entre los problemas
• tipo conocimiento algorítmico: como se realizan los procedimientos de cálculo, por ejemplo la suma,…
• conocimiento estratégico: como se enfocan los problemas.

La resolución de problemas no sólo es el objetivo fundamental y prioritario del área sino que es un instrumento metodológico importantísimo. La reflexión que se lleva a término cuando se resuelve un problema ayuda a construir y a consolidar conceptos y a establecer relaciones entre ellos. Para aprender a resolver problemas es necesario proporcionar a los alumnos instrumentos, técnicas específicas y pautas generales de resolución de problemas que les permitan enfrentarse a los enunciados sin miedo y con ciertas garantías de éxito.

El proceso de resolución de problemas es la actividad mental desplegada por parte del solucionador desde el momento en que se le presenta un problema, lo asume para resolverlo y finaliza su tarea.

Podemos señalar las siguientes fases de resolución de un problema:

• Lectura y comprensión del problema
• Concepción de un plan de resolución
• traducción del enunciado al lenguaje matemático
• elección de una estrategia
• resolución del problema
• concretar una solución
• Comprobación de los resultados

1.5. Problemas de demostración en el sentido de Polya

El Modelo de Polya (1965), ha demostrado que en general, la actividad de resolver problemas puede analizarse en cuatro fases: comprender el problema, proyectar un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida; y que, dentro de cada una de ellas es posible dar sugerencias válidas y más o menos útiles para toda clase de problemas. Cada una de estas fases tienen subdivisiones y preguntas que hacerse para llevarlas a cabo.

El propósito de un”problema por resolver” es descubrir cierto objeto, la incógnita del problema. Los “problemas por resolver” pueden ser teóricos o prácticos, abstractos o concretos; son problemas serios o simples acertijos. Sus principales elementos son:la incógnita, los datos y la condición.

Ejemplo: “Inscribir un cuadrado en un triángulo dado, tal que dos vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo respectivamente”. (Polya, Cómo plantear y resolver problemas)

El propósito de un”problema por demostrar”, también llamadoteorema, consiste enmostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada. Sus elementos principales son la hipótesis y la conclusión del teorema que hay que demostrar o refutar.

Ejemplo: “Dos ángulos están situados en dos planos diferentes, pero cada uno de los lados de uno es paralelo al lado correspondiente del otro, y en la misma dirección. Demostrar que los dos ángulos son iguales” (Polya).

Los “problemas por resolver” tienen mayor importancia en las Matemáticas Elementales; los “problemas por demostrar” son más importantes en las Superiores.

A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que aplicadas adecuadamente ayudarán a resolver el problema. Las cuatro etapas y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuación:

Fase I: Comprensión del problema.

¿Cuál es la incógnita? ¿Cu ́ales son los datos? ¿Cual es la condición?

¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Fase II: Concepción de un plan.

¿Se ha encontrado con un problema semejante?

¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

¿Conoce un problema relacionado con éste?

¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil?

Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. He aquí un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya.

¿Podría utilizarlo? ¿Podría emplear su resultado? ¿Podría utilizar su método? ¿Podría utilizarlo introduciendo algún elemento auxiliar?

¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones.

Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar.

¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto mas accesible? ¿Un problema mas general? ¿Un problema mas particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere solo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en que medida la incógnita queda ahora determinada? ¿en que forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén mas cercanos entre sí?

¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Fase III: Ejecución del plan.

Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.

¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?

Fase IV. Visión retrospectiva.

¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?

¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?

La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible resolver un problema del cual no se comprende el enunciado. Sin embargo en nuestra práctica como docentes hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar operaciones y aplicar formulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo que se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una función comienzan de inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga el enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando los resultados, el profesor dice que el calculo de la derivada no se pedía y mas aun que el mismo era irrelevante para la solución del problema, algunos le responderán: ¿o sea que no nos va a dar ningún punto por haber calculado la derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensión absoluta de lo que es un problema y plantea una situación muy difícil al profesor, quien tendrá que luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal vez a lo largo de muchos años.

La segunda etapa es la más sutil y delicada, ya que no solamente está relacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional, sino también con la imaginación y la creatividad. Observemos que las preguntas que Polya asocia a esta etapa están dirigidas a llevar el problema hacia un terreno conocido. Con todo lo útiles que estas indicaciones son, sobre todo para el tipo de problemas que suele presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteada una interrogante: ¿qué hacer cuando no es posible relacionar el problema con algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que trabajar duro y confiar en nuestra propia creatividad e inspiración.

La tercera etapa es de carácter más técnico. Si el plan está bien concebido, su realización es factible y poseemos los conocimientos y el entrenamiento necesarios, debería ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos.

En la cuarta etapa, se llega a la conclusión que un problema no termina cuando se ha hallado la solución. La finalidad de la resolución de problemas es aprender durante el desarrollo del proceso, y este termina cuando el resoluto siente que ya no puede aprender más de esa situación. Desde este punto de vista, es conveniente realizar una revisión del proceso seguido, para analizar si es o no correcto el modo como se ha llevado a cabo la resolución. Es preciso:

• Contrastar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación planteada.
• Reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras vías, utilizando otros razonamientos.
• Decir si durante el proceso se han producido bloqueos y cómo se ha logrado avanzar a partir de ellos.
• Pensar si el camino que se ha seguido en la resolución podría hacerse extensible a otras situaciones,…

Todos estos aspectos, que normalmente no se trabajan en el aula con los alumnos, sistematizan los procedimientos para la resolución de problemas de forma activa. Es necesario verbalizar los procesos que se dan interiormente. De esta manera, podremos conocer, por un lado, la forma de razonar y proceder, actuar… de los alumnos y, por otro, tener acceso a una serie de lagunas o malas interpretaciones referidas a contenidos conceptuales o procedimentales, que a veces es difícil detectar.

 

2. DESCRIPCIÓN ESTRUCTURAL DE UN PROBLEMA

2.1. Estructura profunda y estructura superficial

Así́ que el contacto inicial con problemas de este tipo se hace mediante una lectura de su enunciado, el cual no constituye una entidad monolítica. Por el contrario, en su estructura son perceptibles dos niveles: Superficial y Profundo (González, 1997; Stacey y Scott, 2000).

“En cualquier problema siempre existe lo explicito (aparente) y lo implícito (profundo). Un problema jamás se podrá́ resolver en tanto no sea captada su profundidad. Cuando no se comprende profundamente el problema ocurre, comúnmente, que se le agrega o se le elimina información y entonces el problema es cambiado”.

El primer nivel es explícito, se le denomina Estructura Superficial del Problema y está conformada por los párrafos contentivos de las expresiones, oraciones o frases constitutivas del enunciado; el otro nivel está implícito, se le designa como Estructura Profunda del Problema y está constituida por las relaciones entre los elementos del enunciado que son expresables matemáticamente.

A la primera de esas dos estructuras se tiene acceso mediante una lectura consciente del enunciado, cuya intencionalidad es hacer explícita la Estructura Profunda del Problema. Esto significa que la lectura que se hace con la finalidad de tratar de resolver este tipo de problemas matemáticos, tiene la intención de buscar y captar el sentido y significado matemático de las relaciones expresadas en el enunciado, las cuales constituyen su Modelo Matemático Subyacente (MMS). Por esta razón, es necesario que el resolutor de un problema matemático con texto esté consciente de que, cuando lee su enunciado, lo que está procurando con ello es acceder a su estructura profunda y, en consecuencia, establecer su MMS correspondiente.

Cuando una persona lee el enunciado de un problema con la intención de solucionarlo, se activa toda su maquinaria intelectual como resolvedor, procurando capturar la estructura profunda del problema y llevando a cabo acciones en función de resolverlo

Esta etapa del trabajo con el problema constituye una Fase de Familiarización durante la cual la intervención mediadora del docente se manifiesta mediante la formulación de algunas preguntas tales como ¿Qué están haciendo? y ¿Cómo lo están haciendo? y luego dejar que los alumnos continúen leyendo atenta y conscientemente el enunciado del problema, trabajando con suficiente autonomía, tanto individual como grupal.

En el diagrama arriba queda claro que mientras el análisis superficial partía del objeto incógnita, cuya obtención se identificaba con “suponer el problema resuelto”, el análisis profundo parte de la suposición de que se han expresado simbólicamente las condiciones del problema, entendiendo dicha expresión simbólica como el objetivo principal del problema.

Por su parte, mientras la síntesis superficial aplicada a un problema concreto determinaba un procedimiento de resolución de ese problema, la síntesis profunda da origen a un procedimiento de simbolización que puede completarse usualmente mediante un método algorítmico, hasta obtener un procedimiento de resolución completo. Llamaremos estructura profunda de un problema a un procedimiento de simbolización global de sus condiciones en contraposición a la estructura superficial de un problema que es cualquier procedimiento de resolución no relacionado explícitamente con ninguna simbolización global previa, lo que no significa que una estructura superficial no pueda apoyarse en procedimientos de simbolización parciales o locales que suelen quedar implícitos. De hecho la estructura superficial opera con datos concretos mientras que la estructura profunda lo hace con símbolos que representan dichos datos. Por esta razón la primera determina más que la segunda al problema en cuestión.

Con esta nomenclatura queda claro que mientras el modelo análisis – síntesis puede ser útil para obtener una estructura superficial, necesitaremos el modelo análisis – síntesis reformulado para obtener la estructura profunda. Llamaremos también “superficiales” a los métodos de resolución obtenidos a partir del modelo análisis – síntesis, en contraposición a los obtenidos a partir del modelo análisis – síntesis reformulado que se denominarán “profundos”.

Por último, si S y C son clases de problemas, diremos que S es una clase significante de C si y sólo sí cumple las dos condiciones siguientes:

• S está definida por un método de resolución superficial
• Para cada problema Pee existe un problema P’eS que tiene la misma estructura profunda y se enuncia con el mismo lenguaje que P.

Podemos precisar ahora el concepto de descripción estructural de una clase de problemas, entendiéndola como una descripción de su estructura profunda completada con un análisis e interpretación de las relaciones entre ésta y la estructura superficial de una clase significante o, simplemente, inicial.

Para concretar aún más lo que entenderemos por “descripción estructural”, enunciaremos algunos principios generales que la delimitan:

• Cada problema admite una estructura profunda o procedimiento de simbolización a lo largo del cual no se hace ninguna distinción entre las expresiones simbólicas “conocidas” y las “desconocidas”. Esta estructura profunda es compartida por otros problemas en cuyo enunciado se ha realizado una elección diferente de los datos dentro del conjunto de las expresiones simbólicas. Cuando dos problemas tengan la misma estructura profunda diremos que son isomorfos. Por ejemplo, las versiones “directa” e “inversa” de algunos problemas, que se caracterizan por intercambiar los datos y las incógnitas, comparten una misma estructura profunda y, por tanto, son problemas isomorfos.
• Si consideramos la clase de problemas definida por un método de resolución profundo, comprobaremos que habitualmente existe una clase significante, sea inicial o no, formada por problemas cuya estructura superficial tiene un carácter “constructivo”. Relacionaremos esta estructura superficial con algún nivel de “comprensión del enunciado”, lo cual constituirá un aspecto importante de la descripción estructural de los problemas de la primera clase.
• Existen problemas cuya estructura superficial sólo se pone de manifiesto a partir de algún problema isomorfo; para otros problemas la única estructura superficial que se conoce es tan artificial que se hace didácticamente inviable; y en otros casos, por fin, no se conoce ninguna estructura profunda, puesto que todos los procedimientos de simbolización “naturales” sintetizan a posteriori una descomposición previa del problema en una cadena de problemas más simples.
• Una diferencia fundamental entre la estructura profunda y una estructura superficial radica en que la primera parte de la consideración del problema como un todo, lo que presupone una profunda y global comprensión del enunciado, mientras que la segunda descompone el problema en una cadena de problemas simples lo que puede interpretarse como una comprensión gradual del problema que no parece precisar de una explicitación a priori del significado global del mismo. En el primer caso se manipulan explícitamente y a lo largo de un razonamiento complejo, términos desconocidos,. mientras en el segundo esta manipulación queda implícita y se reduce, en todo caso, a razonamientos simples. Si se trata de un problema de una clase inicial esta diferencia queda prácticamente diluida aunque sigue siendo teóricamente discernible.

2.2. Método de análisis – síntesis reformulado

El modelo Análisis-Síntesis reformulado ha sido propuesto en un trabajo de J. Gascón (1993) publicado bajo el título “Desarrollo del conocimiento matemático y análisis didáctico: Del patrón del análisis- síntesis a la génesis del lenguaje algebraico” que representa una reconstrucción racional, en el sentido de Lakatos, de la génesis del álgebra elemental que podría, a su vez, dar lugar a una posible reconstrucción del álgebra escolar , a partir de los problemas verbales y de la modelización matemática. En este trabajo se parte de la noción de obstáculo epistemológico , considerado como “[…] origen de una bifurcación en el desarrollo de las matemáticas y es éste desarrollado múltiple bifurcado) el que puede ser explicitado” en términos de desarrollo de nuevas técnicas y nuevos tipos de problemas.

Es decir, Gascón asigna a la noción de obstáculo epistemológico un papel dinámico en el desarrollo y evolución de las matemáticas. Propone tomar el análisis de la bifurcación producida como instrumento para comprender la naturaleza de dicho conocimiento.

En primer lugar recordamos que el análisis-síntesis clásico es el que utilizaban los griegos para resolver problemas de construcción geométrica.

El método de análisis – síntesis reformulado es una generalización no trivial del modelo clásico en la línea de pensamiento de las reglas de Descartes y en base a la naturaleza analítica del Algebra.

La interconexión de ambos modelos permite asignar a cada clase de problemas definidos por medio de la utilización de un método profundo una descripción estructural. Esto implica relacionar dicha clase con alguna clase inicial, definida por un patrón y alguna clase significante definida por un método superficial y constituida por problemas isomorfos a los de la clase de partida.

El desarrollo, o la evolución, de este patrón clásico de análisis-síntesis, puede hacerse en dos direcciones que el autor ha denominado “crítica” o “reformulada”.

El análisis – síntesis reformulado proviene del análisis problemático, de la búsqueda del objeto-incógnita y supone que la condición global del problema está expresada simbólicamente, “entendiendo que suponer el problema resuelto equivale a haber obtenido dicha expresión. En la práctica, partir se esta suposición equivale a partir de una cantidad expresable de dos maneras diferentes y, por medio del análisis, llegar hasta las expresiones simbólicas elementales sin hacer ninguna distinción entre las que representan cantidades conocidas o desconocidas.” (Gascón 1993, p. 318). Esta dirección de desarrollo da origen al Patrón análisis – síntesis reformulado que desemboca en la Modelización Algebraica.

En este nuevo patrón, “suponer el problema resuelto” equivale a suponer que la condición del problema está expresada simbólicamente y se conoce dicha expresión simbólica. El lenguaje algebraico tiene pues un aspecto funcional, es decir, enfatizamos su potencialidad como instrumento para resolver problemas o mejor dicho, para fundamentar métodos de resolución de clases de problemas, frente a la consideración del lenguaje algebraico como una mera generalización y traducción del lenguaje aritmético en el que sólo se tiende a enfatizar su aspecto formal.

De esta forma, el desarrollo de la “nueva técnica” puede ser considerado como un nuevo arte analítico, “generado en el desarrollo del tipo problemático de patrón análisis-síntesis (en el que no aparece ningún presunto lenguaje aritmético), y cuyo lenguaje no puede desgajarse del método analítico del que forma parte” (Gascón 1993, p. 321).

Si interpretamos ahora la resolución de problemas como parte de un estudio más amplio de sistemas matemáticos o extramatemáticos y la intención del estudio es la producción de conocimientos relativos al sistema, entonces el uso del lenguaje algebraico se enmarca dentro de una actividad más amplia que llamaremos modelización algebraica y que seguidamente detallaremos.

 

2.3. Problemas de planteo algebraico

Los problemas de planteo son en los que debemos decodificar un texto en expresiones algebraicas para poder resolverlo. El problema está en cuando armamos la ecuación para resolverlo, ya que nos aparecerán múltiples incógnitas, entonces se deben armar mas ecuaciones con todas las relaciones de que tengan las incógnitas entre sí (una ecuación o equivalencia para cada relación).

En la solución de los problemas de planteo vamos a considerar los siguientes pasos:

• Interpretar correctamente el significado de la expresión hablada o escrita, asignando a las variables o incógnitas las últimas letras del alfabeto (x, y, z).
• Escribir la expresión o expresiones algebraicas procurando referir todas las variables a una sola que pudiera llamarse x Esta restricción es temporal mientras aprendamos a resolver, expresiones con más de una variable).
• Relacionar la información ya simbolizada para establecer una ecuación o una inecuación.
• Resolver la ecuación o inecuación.
• Interpretar la solución algebraica en términos del lenguaje ordinario comprobando que satisface las condiciones estipuladas.

 

Según la formulación general de las hipótesis empíricas, dada al principio de este capítulo, son cuatro las hipótesis contrastables relativas a los problemas de planteo. A continuación damos la formulación concreta de cada una de ellas:

• Hl(AR): La utilización sistemática del Método de Resolución de Problemas Aritméticos mejora significativamente la capacidad de resolver la clase de problemas que este método define.
• H1(P): La utilización sistemática del Método de Resolución de Problemas de Planteo Algebraico mejora significativamente la capacidad de resolver la clase de problemas que este método define.
• H2(AR-P): Si P es un problema de planteo algebraico y P’ una aritmetización de P, entonces la capacidad de plantear P mediante una traducción no meramente literal, presupone la capacidad de resolver P’.
• H3(AR-P): La interpretación sistemática de los problemas de planteo algebraico como problemas aritméticos y su resolución previa como tales, mejora significativamente la capacidad de resolver problemas de planteo algebraico.

 

Ejemplos problemas de planteo:

1. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un perímetro de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros más que el ancho. Este es el ejemplo 2 del tema Planteo de problemas, sólo que ahora debemos simbolizar usando solamente una variable).

Largo mide 30 metros más que el ancho largo = x ancho = x – 30
y el perímetro es de 540 metros
perímetro = 2 veces el largo + 2 veces el ancho 2x + 2(x – 30) =540

Ecuación: 2x + 2(x – 30) 540
Solución: 2x + 2x – 60 = 540
4x = 600
x = 150

Interpretación:largo = 150 metros ancho = 120 metros

Comprobación:Perímetro = 2(150) + 2(120) = 300 + 240 = 540 metros

 

2.4. Problemas de geometría analítica

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación indeterminada, polinomio, o función determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.

1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos o lugar geométrico (una línea o una figura geométrica) en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Para este objetivo, siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; lo que expresado de modo general es  ax + by = c.

2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Invirtiendo el ejemplo anterior, dada la ecuación algebraica x + y = 5, podemos calcular todos los valores para x e y que la cumplan y anotados esos valores en el Plano cartesiano veremos que corresponden a la recta AB.

Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta.

La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales).

Dentro del marco en que estamos inmersos y teniendo en cuenta la formulación general de las hipótesis empíricas dada al principio del capítulo, vamos a dar una formulación concreta de las hipótesis contrastables relativas a los problemas de geometría:

• Hl(GC): La utilización sistemática del Patrón de Resolución de Problemas de Construcción Geométrica de Dos Lugares mejora significativamente la capacidad de resolver la clase de problemas que este método define.
• Hl(GA): La utilización sistemática del Patrón de Resolución de Problemas de Geometría Analítica de Dos Lugares mejora significativamente la capacidad de resolver la clase de problemas que este método define.
• H2(GC-GA): Si P es un problema de geometría analítica de dos lugares y P’ la interpretación de P como un problema de construcción geométrica, entonces la capacidad de plantear P presupone la capacidad de resolver P’.
• H3(GC-GA): La interpretación sistemática de los problemas de geometría analítica de dos lugares como problemas de construcción geométrica y su resolución previa como tales, mejora significativamente la capacidad de resolver problemas de geometría analítica de dos lugares.

CONCLUSION

Los cursos de matemáticas que apoyan la formación de profesionistas en diversas áreas de conocimiento se enfocan principalmente en la resolución de problemas propios de esa área; sin embargo, esta disciplina permite lograr un propósito más amplio y profundo que sólo convertirse en un apoyo instrumental para el planteamiento y solución de problemas, este es: el desarrollo del pensamiento lógico; afirmamos aquí, del pensamiento lógico dialéctico. También afirmamos que un proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas que tome en cuenta el significado intuitivo de los conceptos con los cuales se construye y desarrolla esta disciplina, así como el diálogo permanente entre la teoría y la realidad en su enseñanza, aporta de manera clara y contundente al desarrollo de las llamadas competencias genéricas (nucleares, básicas)

El objetivo más específico de la Didáctica en el planteo ha sido alcanzado en un grado muy apreciable, especialmente si tenemos en cuenta que se ha conseguido mediante la asimilación de un método general de resolución.

Por otra parte, y paralelamente al desarrollo de la Didáctica, se ha ido observando un incremento de la motivación intrínseca (interés por resolver problemas cada vez más difíciles como fin en sí mismo) en la mayoría de los alumnos, exceptuándose solamente los que no han obtenido- ningún éxito en la etapa de entrenamiento.

A partir del Análisis/Síntesis clásico, considerado como técnica de resolución de problemas no solo geométricos, hemos propuesto otro modelo epistemológico específico del álgebra escolar, considerándola como un instrumento de la actividad matemática y, más concretamente, como un instrumento de modelización algebraica (MA). Desde este punto de vista, una actividad matemática será “algebraica” en la medida que: permita la manipulación global de a estructura de los problemas; incluya la problemática relativa a la descripción, justificación y alcance de las técnicas que se utilizan; unifique los tipos de problemas, técnicas y tecnologías; y provoque la emergencia de nuevos tipos de problemas con la consiguiente ampliación de los mismos.

 

RECOMENDACIONES

• Realizar con mayor constancia actividades de resolución de problemas, para incentivar el pensamiento lógico y crítico de los estudiantes.

• Realizar folletos que Informen al público en general sobre la importancia de este método en las matemáticas y la vida diaria.

• Capacitar a los docentes a utilizar herramientas y estrategias que formen parte del contenido del currículo escolar con relación al análisis – síntesis.

• Participar en actividades que fomenten el análisis – síntesis en el pensamiento de los estudiantes.

 

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Citar este texto en formato APA: _______. (2021). WEBSCOLAR. El método de Análisis – Síntesis en la resolución de problemas matemáticos algebraicos. https://www.webscolar.com/el-metodo-de-analisis-sintesis-en-la-resolucion-de-problemas-matematicos-algebraicos. Fecha de consulta: 27 de diciembre de 2024.