Historia de las Matemáticas

 

 

 

 

Sistemas de ecuaciones con varias incógnitas

 

x + y = a,                xy = b

x – y = b,                xy = a

x + y = a,                x² + y² = b

x – y = b,                x² + y² = a

x + y = a,                x² – y² =  b

ax + y + cz = d           mx + ny + pz = h,

rx +sy + qz = 0

 

Además, utilizaban las fórmulas:

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a + b) (a – b) = a² – b².

 

Se conocían algunas series:

En geometría, estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras, el área del triángulo y del trapecio, el área del círculo con π = 3, los volúmenes del prisma y del cilindro, el teorema de Tales.

 

Poseían evidentemente un calendario y la astronomía era muy popular. Por último, disponían de tablas que daban los valores de la cosecante 6 para 31° ≤ Ө ≤ 45° y probablemente para otros valores diferentes de Ө.

 

 

4. La Civilización Egipcia

 

Las matemáticas egipcias permanecieron fieles a sí mismas durante todo el período que abarca la civilización egipcia. En todo momento, el conjunto de procedimientos utilizados por los egipcios se concibe, en esencia, de manera que respete sus dos principios operacionales: el principio inheren­te a su capacidad de multiplicar y dividir por dos, y el inherente a su capaci­dad de calcular los 2/3 de cualquier número, entero o fraccionario. Además, el desarrollo y el tratamiento de las fracciones a un nivel alto permiten comprender mejor el arte del cálculo aritmético. La construcción de la tabla de las fracciones 2/n, de n = 3 a n = 101 con n impar, supone un trabajo con­siderable si se tiene en cuenta que las descomposiciones en fracciones unitarias de la tabla son generalmente las más sencillas que pueden obtener­se.

 

El sistema de numeración hierático, no posicional, que encontramos en los papiros, sirve de vehículo transmisor de los conocimientos matemáticos de los egipcios. Por otro lado, en los muros, los templos, las vasijas, se utilizan elementos de un sistema de numeración jeroglífico, aditivo y no posicional.

 

En álgebra, los egipcios utilizan con soltura la conmutatividad y la distributividad, y están familiarizados con el inverso de un número. Sobre todo, pueden resolver ecuaciones lineales sencillas por el método de la «falsa posición». Comprendían bien la progresión aritmética y la geométri­ca pudo ser objeto de sus preocupaciones matemáticas.

 

En geometría, podían calcular el área de triángulos, rectángulos y tra­pecios. Conocían también las fórmulas para calcular volúmenes de cilin­dros y prismas rectos. Poseían una buena aproximación de π (3 1/6). La se­mejanza y la proporcionalidad no parecen serles desconocidas. Conocían la fórmula del volumen del tronco de pirámide de base cuadrada.

 

La construcción de las pirámides fue, para ellos, la ocasión de utilizar el equivalente de nuestra cotangente.

 

 

5. El nacimiento de las matemáticas Griegas

 

Tales de Mileto aprovecharon los conocimientos adquiridos por las civilizacio­nes anteriores y proporcionó los rudimentos para una nueva geometría. Con los pitagóricos, la geometría se convirtió en una ciencia con entidad propia, constituida por principios y definiciones sobre los que iniciaron la construcción de un sistema lógico. Los pitagóricos inventaron:

 

1. la teoría de números;

2. el método de aplicación de las áreas;

3. una teoría de las proporciones aplicable a las magnitudes conmensu­rables;

4. tres de los cinco sólidos regulares.

 

Descubrieron también la existencia de magnitudes inconmensurables e instituyeron la música como ciencia matemática. Después de Pitágoras, los trabajos matemáticos se orientaron en gran medida hacia la construcción de los Elementos de Euclides. En particular, Hipócrates de Quíos parece haber sido el primero que recopiló un libro de los Elementos. A él se deben además las primeras cuadraturas de figuras curvilíneas.

 

Las cuadraturas de Hipócrates son importantes sobre todo porque ponen de manifiesto el alto nivel matemático alcanzado por los griegos en esta época. Teodoro de Cirene y Teeteto llevaron a cabo el estudio de los irracionales, mientras que Arquitas obtuvo una solución del problema de la duplicación del cubo y elaboró el libro III de los Elementos.

 

 

6. De Platón a Euclides

 

Los trabajos matemáticos de Platón tratan de distintos temas y están dispersos en algunos de sus diálogos. Sin embargo, el contenido de estos trabajos es poco importante para la evolución de las matemáticas griegas, si se compara con la influencia y la inspiración suscitadas por su Academia y el impacto que tuvo sobre el pensamiento matemático griego.

 

El escándalo ocasionado por el descubrimiento de las magnitudes incon­mensurables se esfuma ante la nueva teoría de las proporciones de Eudoxo, quien proporciona también el método exhaustivo que será muy empleado por sus sucesores, y en particular por Euclides y Arquímedes.

 

Menecmo, alumno de Eudoxo, contribuyó de forma especial, con su descubrimiento de las secciones cónicas a partir de un cono circular recto, cortado por un plano perpendicular a la recta generatriz, a alejar las fronteras de la geometría.

 

Aristóteles, el célebre alumno de Platón, enunció distinciones esclarece-doras entre las nociones de axioma, definición, postulado e hipótesis. Analizó brillantemente la continuidad física, el infinito en potencia, la divisibilidad infinita que no se alcanza nunca, así como el movimiento en el sentido físico del término. Su contribución a la lógica filosófica servirá de soporte y de impulso inicial a los trabajos subsiguientes que conducirán a la lógica matemática.

 

La monumental obra de Euclides comprende numerosos trabajos que tocan casi todos los campos de las matemáticas de su tiempo. Famoso por sus Elementos, influenció durante siglos a los matemáticos por la original contribución y la síntesis que tan bien realizó.

 

Con Apolonio, las secciones cónicas se convierten en un tema matemáti­co complejo que comprende una teoría de cónicas tan elaborada que habrá que esperar a que las investigaciones matemáticas del siglo XVH hagan posible un desarrollo en profundidad, lo que se consigue gracias a la aparición del álgebra, instrumento inexistente en la época del gran geóme­tra.

 

La trigonometría griega se convierte en un cuerpo de doctrina en el momento en el que las especulaciones teóricas de los griegos son relegadas a un segundo plano en favor de una matemática más orientada hacia las aplicaciones. Así, la trigonometría experimenta un desarrollo prodigioso con Aristarco y sus razones trigonométricas, con Hiparco y su tabla de las cuerdas de arco de círculos, utilizando las divisiones del círculo en 360°, con Menelao y las bases de la trigonometría esférica, con Tolomeo y su obra clásica, el Almagesto.

 

La aplicación de fórmulas matemáticas y un elaborado estudio de las mediciones constituyeron la obra de Herón. Por último, Diofanto se ocupó detenidamente de un álgebra sincopada en la que la teoría de las ecuaciones desempeña un papel preponderante.

 

 

7. Las civilizaciones China e India

 

Las fuentes históricas son escasas en lo referente a las matemáticas chinas. Los chinos poseían dos sistemas de numeración, uno de ellos emparentado con un sistema posicional. Las operaciones aritméticas se efectuaban me­diante barras numéricas: el «suanpan» —máquina de calcular con bolas— constituyó un invento muy importante utilizado desde el siglo XII de nuestra era. Las matemáticas chinas encierran resultados interesantes e innovadores: una buena aproximación de π, la utilización práctica de los números negativos, el estudio de los cuadrados mágicos, el desarrollo de un método matricial eficaz para resolver sistemas de ecuaciones, la primera aproxima­ción al método de Horner, el desarrollo del binomio, ilustrado por el triángulo de Pascal, y la utilización de ciertas series.

 

Las matemáticas indias, cultivadas sobre todo por los sacerdotes, se caracterizan por el desarrollo del cálculo numérico y algebraico, una trigonometría basada en la función seno, una alternancia de enunciados verdaderos y falsos en lo relativo al álgebra y sobre todo, a la geometría, una geometría poco desarrollada, salvo quizá en el estudio de los cuadriláte­ros y sus propiedades, un análisis indeterminado que supera netamente al de Diofanto y al de Hipatía en dificultades y en generalidades, y un sistema de numeración —notación brāhmî—, fuente de la que surgirá, con las contribuciones de los árabes, nuestro sistema decimal.

 

 

8. Las Matemáticas Del Islam

 

Las matemáticas del Islam asimilaron los descubrimientos griegos e indios, prescindiendo de algunos aspectos demasiado teóricos para desarrollar con preferencia temas más conformes con su enfoque práctico. Los árabes tuvieron el mérito imperecedero de haber sabido conservar para la humani­dad preciosos documentos. Reunieron con sumo cuidado las obras matemáticas de origen griego e indio que llegaron hasta ellos. Probablemente, la traducción árabe de numerosos textos griegos e indios salvó una buena parte de la herencia matemática de estas dos grandes civilizaciones.

 

Las contribuciones de los árabes en el campo de las matemáticas comprenden numerosos temas que gravitan sobre la trigonometría y el álgebra. Contribuyeron de manera original a la teoría de las ecuaciones, al desarrollo de la trigonometría plana y esférica, al estudio del postulado de las paralelas, al desarrollo de nuestro sistema decimal y a la generalización del binomio.

 

9. Las matemáticas de la Europa Medieval

 

La contribución del Imperio bizantino al campo de las matemáticas consiste en haber conservado los textos matemáticos escritos en griego y haber comentado los clásicos antiguos. Los primeros autores latinos se basaron libremente en las obras de Euclides, Nicómaco y Tolomeo y sus obras influyeron notablemente en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas medievales hasta finales del siglo X. Entre estos primeros autores latinos, Boecio fue indiscutiblemente el que más influyó en el pensamiento matemá­tico de los primeros siglos de la Edad Media.

 

En el siglo X, los números indoarábigos son introducidos en Europa por Gerberto, que fue el maestro de los «abacistas». Durante el mismo período, los matemáticos europeos entran en contacto con los textos árabes y se asiste a la fundación de las primeras universidades. En los siglos xi y xn, los traductores latinos comienzan a traducir numerosos textos matemáticos escritos en lengua árabe, empleando las dos vías principales de traducción representadas por España y Sicilia.

 

Los principales temas matemáticos que interesan a los traductores latinos sor el álgebra y la trigonometría árabes. La geometría griega, de un nivel superior a las matemáticas del Islam, no parece atraer la atención de los sabios de Europa.

El primer sabio europeo que contribuyó considerablemente y de forma original al campo de las matemáticas fue Leonardo de Pisa, conocido bajo el nombre de Fibonacci. Su Líber abad trata sobre todo de los métodos algebraicos y de problemas en los que se acentúa el empleo de los números indoarábigos. En particular, enunció un problema célebre que dio lugar a la «sucesión de Fibonacci». A pesar de la originalidad y el evidente valor de sus trabajos, influyó poco en las matemáticas de su tiempo.

 

Jordanus Nemorarius puede ser considerado como el fundador de la escuela medieval de mecánica e introdujo el empleo de letras en lugar de los símbolos numéricos. Los filósofos escolásticos se inclinan por el estudio del movimiento y del cambio en general y sus trabajos científicos, desde el siglo XII al XIV, se refieren al estudio cuantitativo de la variación y su representa­ción gráfica.

 

Thomas Brawardine, eminente matemático inglés del siglo Xiv, desarro­lló una teoría de las proporciones que engloba el concepto de variación expresado en términos de la potencia n o de la raíz enésima. No fue ajeno a las cuestiones de los conceptos matemáticos de continuidad e infinito que se debatieron durante el siglo XIV.

 

Nicolás de Oresme es célebre en matemáticas por varias razones: proporcionó reglas equivalentes a nuestras leyes sobre los exponentes, notaciones específicas para las potencias fraccionarias e irracionales, Una representación gráfica de la variación, una primera aproximación probable a la teoría de los indivisibles de Cavalieri y algunas reglas sobre la suma de series infinitas y sobre la determinación de la convergencia y divergencia de ciertas series.

 

 

10.        El Renacimiento Europeo

 

Las actividades matemáticas de los sabios latinos del Renacimiento contri­buyeron de manera importante a hacer resaltar resultados fundamentales en el campo del álgebra, la trigonometría y la geometría. Se dispone ya de los rudimentos del álgebra simbólica, el cálculo con símbolos indoarábigos está muy extendido, las fracciones decimales se desarrollan gradualmente, la teoría de ecuaciones comprende ahora la solución general de la cúbica y de la ecuación bicuadrática, los números negativos se aceptan cada vez más, la trigonometría es una disciplina autónoma y se dispone de tablas trigonométricas muy precisas para las seis funciones.

 

La geometría pura se desarrolla según nuevas orientaciones con el descubrimiento de los rudimentos de la geometría descriptiva y proyectiva y la continuación de algunas ideas anteriores. La invención de la imprenta ejerce ya una influencia benéfica sobre la normalización de los conocimien­tos y la difusión de las ideas matemáticas.

 

 

11.        El comienzo de las matemáticas modernas

 

Las traducciones de Maurolico y Commandino facilitan el acceso a las obras antiguas de un nivel superior, poco conocidas en la época.

 

Maurolico es uno de los precursores del principio de inducción matemá­tica.

 

La figura central del álgebra, y de las matemáticas en general es sin duda Francpis Viéte. Utiliza sistemáticamente números decimales y hace contri­buciones originales al campo de la trigonometría, la teoría de ecuaciones y la geometría. El grado de generalización y los numerosos aspectos nuevos y originales de su álgebra le hicieron famoso. Fue el primero que estableció relaciones entre la trigonometría y la teoría de ecuaciones.

 

Stevin debe su celebridad a su tratado La disme, que ocupa de manera sistemática, aunque con una notación pobre y tortuosa, de los números decimales. Fue también célebre por sus aportaciones a la contabilidad, la trigonometría esférica, el análisis y otros muchos campos de las ciencias y la tecnología.

 

Napier alcanzó la fama sobre todo por la invención de tos logaritmos, aunque destacara también por el desarrollo de métodos abreviados de cálculo distintos de los logaritmos, y por sus trabajos de trigonometría.

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