Los números Primos: Concepto, identificación y generalidades

INTRODUCCION

Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia aparecen numerosos estudios. Los pitagóricos tuvieron gran interés por ellos debido a que pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y “mágicas”. Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser “adorados” por los discípulos de Pitágoras.

Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia.La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con fuerza nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ellas, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas. En menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro se llama matemáticas.

LOS NUMEROS PRIMOS

1. ¿Qué son números primos?

Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.

El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín “primus” que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los “primeros”, porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)

Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.

2. ¿Cómo averiguar si un número es primo?

El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5… , n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto.Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observando simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √ n. Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, … , [√ n]. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √ n.

Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15’0665… basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.

Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para comprobarlo.

3. ¿Cuántos números primos hay?

Una de las primeras preguntas que podemos hacernos es si la cantidad de números primos es finita o infinita.Euclides de Alejandría demostró que hay infinitos. Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea C = {p₁, p₂, … p_n} el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M = p₁×p₂×… p_n+1. Como cada primo p_i es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los p_i; es decir, M no está en el conjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q | M y obviamente, q | p₁×p₂×… p_n. Por consiguiente, q divide a la diferencia M – p₁×p₂×… ×p_n(que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos no puede ser finito.

Hay otras demostraciones posibles, como la de Euler, que se obtiene como corolario de un teorema que afirma que la suma de la serie de los inversos de los números primos es divergente. Otra demostración más reciente (y sencilla de hacer) fue obtenida por Polya basándose en los números de Fermat. Más adelante veremos más sobre estos números que se definen como F_n=2^(2ⁿ)+1. Así, F₁=5, F₂=17, F₃=257, etc. Polya observó y demostró que para todo k>0 se tiene que F_n y F_n+k son coprimos; es decir, no tienen factores comunes.Esto implica la infinitud de los números primos, ya que cada uno de los F_n da lugar a uno o varios números primos que no aparecen en los anteriores números de Fermat. Curioso, ¿no? La demostración es como sigue:

Observamos en primer lugar que todos los números de Fermat son impares, evidente. En segundo lugar hay que ver que F_n+k-2 es múltiplo de F_n para todo k>0. Para ellosólo hay queseguirestecálculo:

Ahora, si m ¹ 1 es un divisor común de F_n y F_n+k , entonces m es divisor de F_n+k – 2 y F_n+k , y por tanto de su diferencia; es decir, m es divisor de 2 al mismo tiempo que de F_n que es impar. Contradicción. Podemos concluir entonces que cualesquiera dos números de Fermat no tienen ningún factor en común.

Otra demostración interesante se la debemos a Erdos: Consideremos un número x fijo y sean p₁, p₂, …, p_n £ x, los números primos menores o iguales que x. .Como todo entero puede expresarse como producto de un cuadrado por un número libre de cuadrados, podemos escribir cada entero m £ x de la forma

donde e_i∈ {0, 1} y Q² ≤ x. Podemos elegir los e_i de 2ⁿ formas diferentes, y Q de r(x) formas y, por tanto, podemos asegurar que todos los números m ≤ x pueden escribirse alguna de estas 2ⁿ·r(x) formas, o sea, x ≤ 2ⁿ·r(x). Ahora, despejamos n de esta expresión, x ≤ 4ⁿ, y por tanto, n ≥ ln x / ln 4.El número de primos es mayor que cualquier número x fijado de antemano.

4. La sucesión de los números primos

La sucesión de los números primos es poco predecible. No sabemos si obedecerán algún tipo de regla u orden que no hemos sido capaces de descubrir todavía. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron poner fin a esta situación pero sin éxito. Leonhard Euler comentó en una ocasión: “Los matemáticas han intentado en vano hasta la fecha descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente no podrá penetrar nunca”.  En una conferencia dada por D. Zagier en 1975, éste dijo: “Hay dos hechos en torno a la distribución de los números primos que espero crean tan abrumadoramente, que quedarán por siempre grabadas en sus corazones. La primera es que a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos que construyen los números naturales, los números primos crecen como  la mala hierba alrededor de los números naturales, simulando no obedecer otra ley que la del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más asombroso, porque dice justamente lo opuesto: que los números primos hacen gala de una pasmosa regularidad, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen esas leyes con una precisión casi militar” (Havil 2003)

Pero el espíritu del hombre es obstinado y su inquietud por descubrir no conoce fronteras. Así, con el paso de los años y los siglos se ha ido avanzando a pequeños pasos, pero tantos, que al mirar atrás parecen gigantescos. En primer lugar presentamos una tabla con las cifras del número primo que ocupa el lugar 10ⁿ-ésimo. Lectura: El primo que ocupa el lugar 1000 (10³) en la sucesión de los números primos es 7919.

= n =	Primo 10n	Número de cifras	= n =	Primo 10n	Número de cifras
0	2	1	11	2760727302517	13
1	29	2	12	29996224275833	14
2	541	3	13	323780508946331	15
3	7919	4	14	3475385758524527	16
4	104729	6	15	37124508045065437	17
5	1299709	7	16	394906913903735329	18
6	15485863	8	17	4185296581467695669	19
7	179424673	9	18	44211790234832169331	20
8	2038074743	10	19	465675465116607065549	21
9	22801763489	11	20	4892055594575155744537	22
10	252097800623	12	21	?	23

Tabla 3: Dígitos del 10ⁿ-ésimo primo

Otra posibilidad es contar cuántos primos acaban en una determinada cifra o cuántos son de una determinada forma como 4k+1 ó 4k+3. Por ejemplo, los números primos de la forma 4k+1 son 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97… y los de la forma 4k+3 son 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83… Para abreviar los llamaremos primos de tipo 1 y de tipo 3 respectivamente. Observamos que de los 24 primos enumerados, 11 son del tipo 1 y 13 del tipo 3.

Contando el número de primos de cada tipo hasta 100.000 obtenemos:

x	Primos 4k+1	Primos 4k+3	x	Primos 4k+1	Primos 4k+3
100	11	13	10.000	609	619
200	21	24	20.000	1.125	1.136
300	29	32	50.000	2.549	2.583
400	37	40	70.000	3.491	3.443
500	44	50	100.000	4.783	4.808
600	51	57	200.000	8.995	8.988
700	59	65	300.000	13.026	12.970
800	67	71	400.000	16.967	16.892
900	74	79	500.000	20.804	20.733
1000	80	87	600.000	24.573	24.524
2000	147	155	700.000	28.306	28.236
3000	222	207	800.000	32.032	31.918
5000	329	339	900.000	35.676	35.597
7000	442	457	1.000.000	39.266	39.231

Tabla 4: Recuento de primos de la forma 4k+1 y 4k+3 desde 3 hasta x

Observamos que los primos de tipo 3 van ganando por un escaso margen a los de tipo 1. Este fenómeno fue observado ya porTchebychev, que se lo contaba en una carta a M. Fuss el 23 de marzo de 1853. Este sesgo resulta quizás inesperado en vista de un importante resultado en la teoría analítica de los números conocido como “el teorema de los números primos para progresiones aritméticas”. Este resultado nos dice que, para todo módulo a, los primos tienden a distribuirse equitativamente entre las diferentes progresiones an+ b tales que mcd(a, b) = 1. Esto implica entre otras cosas que cualquier progresión aritmética contiene infinitos primos, hecho que fue conjeturado ya por Gauss y demostrado por Dirichlet en 1837. También nos permite deducir que existe “el mismo número de primos” acabados en 1, 3, 7 ó 9, tomando como progresiones aritméticas 10n+1, 10n+3, 10n+7 y 10n+9.

x	10n + 1	10n + 3	10n + 7	10n + 9
100	5	7	6	5
200	10	12	12	10
500	22	24	24	23
1.000	40	42	46	38
2.000	73	78	77	73
5.000	163	172	169	163
10.000	306	310	308	303
20.000	563	569	569	559
50.000	1274	1290	1288	1279
100.000	2387	2402	2411	2390
200.000	4478	4517	4503	4484
500.000	10386	10382	10403	10365
1.000.000	19617	19665	19621	19593

El intento de “controlar” los números primos llevo a muchos a la búsqueda de algún tipo de fórmula o expresión algebraica que generase la sucesión de los números primos.Goldbach demuestra en 1752 que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que dé números primos para cualquier valor entero. Años después Legendre demuestra que no existe ninguna función algebraica racional que cumpla tal requisito. Queda por decir que todavía se puede buscar un polinomio de forma que produzca una sucesión de números primos lo más larga posible. Euler propuso el polinomio n² + n + 41 que da números primos para valores 0 ≤ n < 40 (también para 40 < n < 81 excepto n = 41, 44, 49, 56, 65 y 76 [sucesión cuadrática]).

Otro resultado que hay que mencionar, a pesar de los resultados de Goldbach y Legendre, es que se ha podido encontrar un polinomio en 10 variables con coeficientes enteros que da números primos siempre que se sustituyan las variables por enteros no negativos. Jones, Sato, Wada y Wiens han hallado un polinomio de grado 25 en 26 variables cuyos valores positivos son exactamente los números primos.

5. El teorema del número primo

π(n) ≈ n/log n ≈ Li(x)

La función que nos dice cuántos números primos hay en el intervalo [0, n] se representa por π(n) =  # { p ≤  n , p primo}. Legendre y Gauss dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y contar los que había en grandes intervalos. Conjeturaron que el valor de π(n) podía aproximarse por n/log(n). Tchebychev, en su intento de demostrar esta conjetura, obtiene que existen dos constantes c₁ y c₂ verificando 0 < c₁ ≤ 1 ≤ c₂< ∞ tales quec₁ · n / log(n) ≤ π(n) ≤ c₂ · n / log(n).

En 1881, James J. Sylvester da otro resultado similar pero mucho más fino; a saber, que 0,96695 ≤ c₁ ≤ 1 ≤ c₂ ≤ 1,04423.

El teorema del número primo nos da una aproximación asintótica al valor de π(n) y se expresa de la siguiente forma:

Fue demostrado en primer lugar por Hadamard y de la ValléePoussin en 1896 basándose en algunas propiedades de la función Zeta de Riemann.

Una mejor aproximación de π(x) es la función Li(x).

lo cual equivale a decir quese aproxima mejor a π(n) que n/log(n).

En 1901, Koch demuestra que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad  | π(x) – Li(x) | ≤ c·√x·ln(x) para alguna constante c. Erdös en 1949 y Selberg en 1950 dieron demostraciones más sencillas en el sentido que no se apoyan en “herramientas de gran calibre” como la función zeta o similares.Para valores de n no demasiado grandes se comprobó que π(n) < Li(n), lo cual dio lugar a la conjetura de que la desigualdad se verificaba para todo valor de n. Sin embargo, la conjetura fue refutada en 1914 por Littlewood al demostrar que ambas funciones se cruzan infinitas veces. Skewes demostró posteriormente que el primer encuentro de ambas funciones ocurre para un n menor que 10^(10^(10^(34))). Este número ha sidoreducidodespués hasta 10³⁷¹.

6. Los diez números primos más grandes

Número primo	Número de dígitos	Añodescubrimiento
213466917-1	4053946	2001
26972593-1	2098960	1999
23021377-1	909526	1998
22976221-1	895932	1997
21398269-1	420921	1996
136184665536+1	402007	2002
126606265536+1	399931	2002
5.21320487+1	397507	2002
105747665536+1	394807	2002
85767865536+1	388847	2002

7. ¿Cómo se distribuyen los números primos?

Se utiliza p (x) para representar el número de primos menor que o igual a x. La distribución es la siguiente:

Distribución de númerosprimos

X	p (x)	p (x)/x	p (x)	er(x)
10	4	0,40	2,5	12,182494
100	25	0,25	4,0	54,598150
1000	168	0,168	5,95238095	384,668125
10000	1229	0,1229	8,13669650	3417,609
100000	9592	0,09592	10,4253545	33703,4168
1000000	78498	0,078498	12,7391781	340843,2932
10000000	664579	0,06645790	15,0471201	3426740

Si observamos la última columna vemos que cuando x es grande cada número de esa columna es aproximadamente 10 veces el anterior.

Esto se puede expresar matemáticamente de esta forma: (cuando x es grande). De aquí se deduce el teorema de los números primos:

(cuando x es grande)

Dicho en lenguaje llano: la proporción de primos entre enteros es aproximadamente igual al inverso de ln x cuando x es grande.Puede parecer increíble que alguien descubra esta relación, sin embargo, esta relación la descubrió Carl Friedrich Gauss cuando tenía 14 años.

Si p y 2p+1 son primos, a p se le llama número primo de SofiaGermain.Un número es casi primo si sólo tiene dos divisores primos. En 1978 Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adlermann desarrollaron un método para cifrar mensajes (llamado RSA por las iniciales de sus apellidos) basándose en los números casi primos.Este método consiste en seleccionar dos números primos, p y q (suficientemente grandes, de centenas de dígitos) y obtener su producto n = pq. Podemos hacer público el número n (sería la clave pública) porque es muy difícil obtener los factores p y q.

Para hacer más difícil la descomposición en factores primos del número n, se eligen p y de tal forma que cumplan las siguientes condiciones:

1. El mcd de p – 1 y q – 1 pequeño.
2. La descomposición en factores primos de p – 1 y q – 1 debe tener algún factor primo grande p’ y q’.
3. La descomposición en factores primos de p’ – 1 y q’ – 1 deben tener factores primos grandes.
4. La descomposición en factores primos de p’ + 1 y q’ + 1 deben tener factores primos grandes.

Los números primos p y q que cumplen estas cuatro condiciones se llaman números primos fuertes.La clave privada sería otro número m (es conveniente que este número sea primo también) (de centenas de dígitos) que cumple la siguiente condición:

mcd (m,(p-1).(q-1)) = 1 (el máximo común divisor de m y el producto (p-1)(q-1) es 1).

CONCLUSION

En la actualidad los números primos son muy usados, tanto en la criptografía como en las firmas digitales, para ello sería muy bueno tener un algoritmo o un conjunto de algoritmos, capaz de generar eficientemente, primos de longitudes grandes. A pesar de que tengamos dichos algoritmos, se pueden presentar varios problemas y puede suceder que los números primos que estemos generando no nos sirvan, para ello debemos tener en cuenta varios puntos.

Debemos garantizar que los números que estamos generando son realmente primos o con una altísima probabilidad lo sean. Comprobar si un número es compuesto o primo, se puede tratar de varias maneras, una muy simple es factorizarlo, así con solo mostrar los factores primos, convenceríamos sin tener que mostrar una teoría compleja o argumentos auxiliares. Otra forma bastante parecida seria encontrarle un divisor a dicho número, con esto lo demostraríamos de manera sencilla a cualquier persona. Pero como persuadir a alguien si el numero es primo,  para esto debemos acudir a teorías auxiliares, que serán simples o complejas según el nivel de fortaleza de nuestro algoritmo, con las cuales se demuestran condiciones que debe cumplir un número para ser primo o no, de esta manera las comprobaríamos y en caso de cumplirse o no, sabríamos que es primo o compuesto algunas veces con seguridad y otras con una alta probabilidad.

Citar este texto en formato APA: _______. (2016). WEBSCOLAR. Los números Primos: Concepto, identificación y generalidades. https://www.webscolar.com/los-numeros-primos-concepto-identificacion-y-generalidades. Fecha de consulta: 22 de diciembre de 2024.