Modulo de Matemáticas sobre aritmética, Algebra, Geometria Analítica y Estadísticas

ARITMETICA

La Potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él; en la expresión b^L = N, b es la base, L es el exponente y N la potencia.

Ejemplo: m ^. m = m² se lee “m cuadrada” o m a la segunda potencia

En general, sí n es un número entero positivo se tiene: mⁿ = m ^. m ^. m ^. m … m n factores.

Esta expresión se lee m a la enésima potencia.

Ejercicio 1. Complete la información requerida en la siguiente tabla que le servirá como resumen para aprender las Leyes de los Exponentes:

Ley

Se utiliza en

Ejemplo

I	am an = am+n	Multiplicación	42.43 = 42+3 = 45
II	( am )n = amn
III	(ab )m = ambm		(5 . 7 )3 = 53 . 73
IV	a0 = 1	División ( son 3 casos) Exponente positivo Exponente cero Exponente negativo	60 = 1 ; 90 = 1
V	a-n = 1 / an	Exponente entero negativo	4-2 = ¼2

Ejercicio 2. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se escribe , lo que establece que a es la raíz enésima de b: el símbolo √ se llama radical, el entero n índice de la raíz y b es el radicando o subradical. También se le llama radical a la raíz indicada de una cantidad. Identifique y defina los factores o elementos propios de la radicación en cada caso:

Signo:	Positivo (+)	Positivo (+)	Negativo (-)
Coeficiente:	7	3	8
Radicando o subradical:	8	5	6
Grado:	3	6	3
índice de la raíz:	2	3	5

Ejercicio 3. El exponente fraccionario y las leyes de los radicales los podemos emplear para hacer algunos cambios necesarios y útiles en los radicales. Los más comunes son:

1. Sacar factores del radical

2. Introducir un factor al radical

3. Racionalización de denominadores.

4. Expresar un radical como otro de índice menor.

Se dice que un radical se ha simplificadocuando en él se han efectuado las operaciones 1, 3 y 4. Escriba un ejemplo de cada uno de los pasos mencionados.

1. Sacar factores del radical________________________________

3. Racionalización de denominadores_______________________

4. Expresar un radical como otro de índice menor____________

Realice las siguientes operaciones con radicales

Ejercicio 4. Exprese con exponente fraccionario como en el ejemplo:

• = (12) 8 ¼
• = (7 ½) (5 )
• =

Ejercicio 5. Exprese en forma de raíz las siguientes potencias con exponente fraccionario como en el modelo:

• =
• ₌
• =
• =
• =

Ejercicio 6. Sacar de cada radical los factores posibles:

• =
• =
• =

Ejercicio 7. Introduzca el factor exterior al radical como en el ejemplo:

• =
• =

Ejercicio 8. Multiplicación y división de radicales

• =
• =
• =

Ejercicio 9. Adición y sustracción de radicales:

• =
• =

Ejercicio 10. En el trabajo científico suele trabajarse con magnitudes muy grandes o muy pequeñas, generalmente ambas se expresan con notación científica, en la cual el número real se cita con un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Observe la siguiente tabla y complete la información:

10° = 1 (Por definición 10° = 1)

32600000000 = 3.26 x 1010

101 = 10	10-1 = 01	15080000 = 1.158×108
102 = 100	10-2 = 0.01	0.0360 = 3.60 x 10-2
103 = 1000	10-3 = 0.001	2/10 000 = 2 x 10-4
2.006 =	0.00009 = 9 x 10-5

Cambie a la notación ordinaria:

7.52 x 10° = 7.52

3.32 x 10-5 = 0.00000322

87.45 x 107 = 874500000

Resolver las siguientes operaciones:

5 164 000 x 0.072 = 3.71808 x 10-5

(0.00712) (61000)2 = 26.49352 x 106

(31760000 x 0.0001) ÷ 10° = 3176

 

ALGEBRA

Una Ecuación Cuadrática es de segundo grado si después de efectuar las operaciones indicadas, de pasar al primer miembro todos los términos y de hacer las reducciones posibles, resulta que el mayor exponente de la incógnita es 2. La forma general de la ecuación de segundo grado o cuadrática es: ax² + bx + c = 0 donde a, b, c, representan cualquier número real.

Como el mayor exponente de esta ecuación es dos, su solución o raíces también son dos.

Ejercicio 1. Responda las siguientes

1. ¿Cómo se clasifican las ecuaciones cuadráticas?

2. ¿Cuántos métodos existen para resolver ecuaciones cuadráticas? Resuelva un ejemplo para cada método.

• Factorización Simple

x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = – 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2] ( x +   )   (x  –   ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

• Completando el Cuadrado

En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4×2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8  = 0 4        4      4      4

 

x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.
Ejemplo:

x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x²  + 2x + 1 = 9

(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

 

x + 1 =  ± 3

x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4

• Fórmula Cuadrática

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X² + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
2

X =  -2 + 6     x = -2 – 6
2                  2
x = 4          x = -8
2                  2

x = 2      x = – 4

Ejercicio 2. Resuelva las ecuaciones según el método indicado:

Método de completar el cuadrado

Emplee la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado

Grafique las siguientes ecuaciones

Ejercicio 3. En la resolución de un sistema formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo grado, se resuelve fácilmente por sustitución; se despeja cualquiera de las incógnitas de la ecuación de primer grado y su valor se sustituye en la de segundo grado.

Resuelva el sistema:

(1)

(2)

• Grafique ambas ecuaciones

• Señale los puntos de intersección.

Ejercicio 4. En el método por adición o sustracción de un sistema formado por dos ecuaciones de segundo grado se realiza a través de la igualación de los coeficientes de una de ¡as incógnitas, la quesea más sencilla y a continuación se suman o se restan las dos ecuaciones, según convenga, para eliminar una de las incógnitas. Resuelva el sistema: .

(1)

(2)

• Grafique ambas ecuaciones

• Señale los puntos de intersección.

• Explique por qué en algunos casos no hay intersección y cómo puede usted identificar esta condición.

Ejercicio 5. Una desigualdad señala que un número real es mayor o menor que otro. Las desigualdades se clasifican en dos tipos:

A. Absoluta

B. Condicional o inecuación.

• Defina y escriba un ejemplo de cada tipo de desigualdad

• ¿Cuáles son las propiedades de las desigualdades?

Ejercicio 6. Usando los signos de desigualdad exprese:

• 
• 
• 
• 
• 

 

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ejercicio 7. Un sistema de coordenadas rectangulares se construye en base a: dos rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen. La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de lasx. La recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y. 1 .Trace un sistema coordenado rectangular y señale los puntos cuyas coordenadas son (3,2), (-4,0), (-2,3), (3,4), (8,2), (-5,2). 2. Determine la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son (-4,5), (3,-2).

Ejercicio 8. En geometría se enseria que la mediana de un triángulo es aquella que va del punto medio de uno de los lados hasta el vértice opuesto.

Calcule las coordenadas del punto medio de cada lado del triángulo (3,2), (-2,4), (-5,-2) y la longitud de las medianas.

Ejercicio 9. Complete el siguiente cuadro con la información correspondiente a las fórmulas de las áreas de ciertas figuras:

Figura

Fórmula del área

I	Triángulo
11	Trapecio	Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

Ejercicio 10. Defina los siguientes términos e ilústrelos en un diagrama.

Bisectriz: es la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.	Variables: es todo aquello que puede asumir diferentes valores, desde el punto de vista cuantitativo o cualitativo.	Constantes: son valores fijos que no pueden ser modificados. Pueden ser de cualquier tipo de datos básico	Pendiente: Medida de la inclinación de una recta o de un plano.
Simetría: Correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano.	Inclinación: Ángulo que una línea o una superficie forma con otra línea u otra superficie.	Cónica: Cada una de las curvas que resultan de la intersección de un plano con un cono circular recto, lo que origina una elipse, una parábola o una hipérbola.	Circunferencia: Curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, el centro, situado en el mismo plano.
Parábola: Lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, que resulta de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz.	Elipse: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante.	Hipérbola Lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.	Coordenadas polares: se definen por un eje que pasa por el origen (llamado eje ecopolar).

Ejercicio 11. Las formas geométricas tienen ecuaciones reducidas y canónicas. Investigue la diferencia y responda las siguientes preguntas.

1. Escriba las cinco formas de la ecuación de una recta y ponga un ejemplo.

2. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (2,-3) y radio 4. Utilice la forma reducida de la ecuación.

 

ESTADISTICA

La estadística es la ciencia que utiliza como instrumento a las matemáticas y al cálculo de probabilidades para estudiar las leyes del comportamiento de fenómenos que dependen del azar y no están regidos por las leyes físicas.

Ejercicio 12. Los datos que se estudian a través de la estadística se organizan en una tabla de distribución de frecuencias: que es una función ya que cada medida está relacionada con un número que es su frecuencia y como tal se puede expresar como:

• Lista = tabla de frecuencias

• Gráfica = diagrama de frecuencia de puntos. Represente gráficamente con una curva de frecuencia la siguiente distribución de frecuencia agrupada.

Clases	Frecuencias
22.5-27.5	3
27.5-32.5	5
32.5-37.5	7
37.5-42.5	9
42.5-47.5	2
52.5-57.5	1

Ejercicio 13. La adecuada representación gráfica de una distribución de datos en estudio, ayuda eficazmente a obtener conclusiones sobre el comportamiento real de la variable. Es necesario que el impacto visual de la representación corresponda a la realidad y en consecuencia que el método seguido se base en principios geométricos válidos.

Pareo:

1. Diagrama de barras                                   3       información gráfica de cómo están distribuidos los datos sobre el rango

2. Diagrama de frecuencia de puntos        1       gráfica más usual. Los valores que toma la variable son grandes

3. Histograma                                                   2      se dispone de muchas observaciones pero pocos valores de las variables.

 

 

Bibliografía

1. Fuenlabrada, Samuel. Probabilidades y Estadistica&gwttda Edición. McGraw-Hill, Méjico, 2000.

2. Larson, Roland y cois. Algebra Intermedia. Segunda Edición. McGraw-Hill, Méjico, 2000.

3. Rich, Barnett. Geometría. Segunda Edición. McGraw-Hill, Méjico, 1991.

4. Algebra de Baldor.

Citar este texto en formato APA: _______. (2013). WEBSCOLAR. Modulo de Matemáticas sobre aritmética, Algebra, Geometria Analítica y Estadísticas. https://www.webscolar.com/modulo-de-matematicas-sobre-aritmetica-algebra-geometria-analitica-y-estadisticas. Fecha de consulta: 22 de diciembre de 2024.